Расчет переходной и импульсной характеристик цепи. Передаточная функция и импульсная характеристика цепи Переходные и импульсные характеристики электрических цепей

Переходная характеристика используется при расчете реакции линейной электрической цепи, когда на ее вход подается импульс
произвольной формы. При этом входной импульс
аппроксимируют множеством ступенек и определяют реакцию цепи на каждую ступеньку, а затем находят интегральную цепи
, как сумму реакций на каждую составляющую входного импульса
.

Переходная характеристика или переходная функция
цепи – это ее обобщенная характеристика, являющаяся временной функцией, численно равной реакции цепи на единичный скачок напряжения или тока на ее входе, при нулевых начальных условиях (рис. 13.11);

другими словами, это отклик цепи, свободной от начального запаса энергии на функцию
на входе.

Выражение переходной характеристики
зависит только от внутренней структуры и значения параметров элементов цепи.

Из определения переходной характеристики цепи следует, что при входном воздействии
реакция цепи
(рис. 13.11).

Пример. Пусть цепь подключается к источнику постоянного напряжения
. Тогда входное воздействие будет иметь вид, реакция цепи – , а переходная характеристика цепи по напряжению –
. При

.

Умножение реакции цепи
на функцию
или
означает, что переходная функция
при
и
при
, что отражаетпринцип причинности в линейных электрических цепях, т.е. отклик (на выходе цепи) не может появиться раньше момента приложения сигнала к входу цепи.

Виды переходной характеристик.

Различают следующие виды переходной характеристики:

(13.5)	– переходная характеристика цепи по напряжению;
	– переходная характеристика цепи по току;
	– переходное сопротивление цепи, Ом;
	– переходная проводимость цепи, См,

где
– уровни входного ступенчатого сигнала.

Переходную функцию
для любого пассивного двухполюсника можно найти классическим или операторным методом.

Расчет переходной характеристики классическим методом. Пример.

Пример. Рассчитаем переходную характеристику по напряжению для цепи (рис. 13.12, а ) с параметрами .

Решение

Воспользуемся результатом, полученном в п.11.4. Согласно выражению (11.20) напряжение на индуктивности

где
.

Проведем масштабирование согласно выражению (13.5) и построение функции
(рис. 13.12,б ):

.

Расчет переходной характеристики операторным методом

Комплексная схема замещения исходной цепи примет вид на рис. 13.13.

Передаточная функция этой цепи по напряжению:

где
.

При
, т.е. при
, изображение
, а изображение напряжения на катушке
.

В этом случае оригинал
изображения
есть переходная функция цепи по напряжению, т.е.

или в общем виде:

, (13.6)

т.е. переходная функция
цепи равна обратному преобразованию Лапласа ее передаточной функции
, умноженной на изображение единичного скачка .

В рассматриваемом примере (см. рис. 13.12) передаточная функция по напряжению:

где
, а функция
имеет вид .

Примечание . Если на вход цепи подано напряжение
, то в формуле переходной функции
время необходимо заменить на выражение
. В рассмотренном примере запаздывающая передаточная функция по напряжению имеет вид:

Выводы

Переходная характеристика введена, в основном, по двум причинам.

1. Единичное ступенчатое воздействие
– скачкообразное, и потому довольно тяжелое для любой системы или цепи внешнее воздействие. Следовательно, важно знать реакцию системы или цепи именно при таком воздействии, т.е. переходную характеристику
.

2. При известной переходной характеристике
с помощью интеграла Дюамеля (см. далее пп.13.4, 13.5) можно определить реакцию системы или цепи при любой форме внешних воздействий.

Расчет отклика цепи во многих случаях может быть упрощен, если входной сигнал представить суммой элементарных воздействий в виде прямоугольных импульсов малой длительности. Для этого сначала рассмотрим связь между функциями и, изображенными на рис.5.8а,6, которые можно записать в виде:

Вторая функция является единичным импульсом, который рассмотрен нами в п.2.4. Как видно, функция является производной от функции, т.е. . Осуществим в этих функциях предельный переход при. При этом функция перейдет в единичную функцию, а функция в функцию. Тогда в силу равенства следует, что единичный импульс, или - функция является производной единичной функции.

Для линейной цепи отсюда заключаем, что ее отклик на единичный импульс, называемый импульсной характеристикой цепи, является производной переходной характеристики цепи, т.е. или

Размерность импульсной характеристики равна размерности переходной характеристики, деленной на время.

Нахождение импульсной характеристики в большинстве случаев проще, чем нахождение переходной характеристики. Действительно, как показано в п. 2.4, спектральная функция единичного импульса, а поэтому для импульсной характеристики с помощью интеграла Фурье получаем выражение

Из этого выражения следует, что спектральная функция характеристики равна комплексному коэффициенту передачи цепи, т.е. или, пользуясь прямым преобразованием Фурье, запишем:

To есть импульсная характеристика цепи так же, как и переходная характеристика, определяется через коэффициент передачи, но для импульсной характеристики в большинстве случаев подынтегральное выражение в интеграле Фурье оказывается проще.

В качестве примера применим соотношение (5.14) для определения спектра импульсной характеристики интегрирующей цепи, переходная характеристика которой. Для импульсной характеристики получаем

Пользуясь здесь выражением (5.14), необходимо учесть, что переходная характеристика при тождественно равна нулю, и поэтому нижний предел в интеграле выражения (5.14) будет нуль. Тогда спектральная функция импульсной характеристики равна

т.е. получили коэффициент передачи интегрирующей цепи, соответствующий ранее полученному выражению (3.16).

Зная импульсную характеристику, можно найти отклик цепи на воздействие сигнала любой формы, либо предварительно найдя по соотношению (5.12) переходную характеристику, а затем воспользовавшись одним из выражений интеграла Дюамеля, либо непосредственно через функцию. В последнем случае входную функцию, т.е. воздействующий сигнал необходимо представить в виде суммы импульсов, как показано на рис. 5.9.

Такое представление функции будет точнее, если, т.е. если она представлена суммой бесконечно большого числа бесконечно малых по длительности импульсов, являющихся здесь элементарными воздействиями. Если бы элементарным воздействием был единичный импульс, площадь которого равна единице, то откликом цепи на такой импульс, появляющийся в момент времени, была бы импульсная характеристика. В рассматриваемом случае элементарный импульс имеет величину, равную мгновенному значению функции в момент и длительность, равную, т.е. его площадь равна. Тогда откликом на элементарное воздействие будет величина. Отклик цепи на воздействие, заданное функцией, будет суммой откликов на все элементарные воздействия, временное положение которых соответствует интервалу от 0 до, т.е.

Это выражение, являющееся еще одним видом записи интеграла Дюамеля, называется также сверткой функций. Оно по виду совпадает с оригиналом свертки изображений двух функций в формуле (4.21).

Импульсную характеристику цепи можно получить с помощью эксперимента, наблюдая отклик цепи (выходное напряжение) на электронном осциллографе. На вход цепи необходимо подать импульс весьма малой длительности. Для примера рассмотрим импульсную характеристику последовательного колебательного контура, считая, что выходное напряжение снимается с емкости С. Выше в п.1.6 мы рассмотрели переходный процесс при включении постоянного напряжения на такой контур. Если величина поданного напряжения равна единице, то напряжение на емкости, являющееся переходной характеристикой цепи равно, согласно (1.33),

Эта переходная характеристика представлена на рис.5.10а. Тогда импульсная характеристика контура

Считая добротность контура большой, полагаем и тогда первым членом можно пренебречь:

Эта характеристика представлена на рис.5.10б. Она соответствует осциллограмме свободных колебаний в контуре, рассмотренных нами в п.1.5.

Таким образом, для того чтобы экспериментально наблюдать импульсную характеристику контура, необходимо на вход контура подать импульс малой длительности, т.е. (как было пояснено в п.2.4) чтобы его длительность удовлетворяла условию.

Министерство образования и науки Украины

Донецкий Национальный Университет

Доклад

на тему: Радиотехнические цепи и сигналы

Студента 3 курса дневного отделения НФ-3

Разработал студент:

Александрович С. В.

Проверил преподаватель:

Долбещенков В. В.

ВВЕДЕНИЕ

"Радиотехнические цепи и сигналы" (РТЦ и С) – курс, являющийся продолжением курса "Основы теории цепей". Его целью является изучение фундаментальных закономерностей, связанных с получением сигналов, их передачей по каналам связи, обработкой и преобразованием в радиотехнических цепях. Излагаемые в курсе "РТЦ и С" методы анализа сигналов и радиотехнических цепей используют математические и физические сведения, в основном известные студентам из предшествующих дисциплин. Важная задача курса "РТЦ и С" – научить студентов выбирать математический аппарат, адекватный встретившейся проблеме, показать, как работает этот аппарат при решении конкретных задач в области радиотехники. Не менее важно научить студентов видеть тесную связь математического описания с физической стороной рассматриваемого явления, уметь составлять математические модели изучаемых процессов.

Основные разделы, изучаемые в курсе "Радиотехнические цепи и сигналы":

1. Временной анализ цепей на основе свертки;

2. Спектральный анализ сигналов;

3. Радиосигналы с амплитудной, угловой модуляцией;

4. Корреляционный анализ сигналов;

5. Активные линейные цепи;

6. Анализ прохождения сигналов через узкополосные цепи;

7. Отрицательная обратная связь в линейных цепях;

8. Синтез фильтров;

9. Нелинейные цепи и методы их анализа;

10. Цепи с переменными параметрами;

11. Принципы генерирования гармонических колебаний;

12. Принципы обработки сигналов дискретного времени;

13. Случайные сигналы;

14. Анализ прохождения случайных сигналов через линейные цепи;

15. Анализ прохождения случайных сигналов через нелинейные цепи;

16. Оптимальная фильтрация детерминированных сигналов в шумах;

17. Оптимальная фильтрация случайных сигналов;

18. Численные методы расчета линейных цепей.

ВРЕМЕННОЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ НА ОСНОВЕ СВЕРТКИ

Переходная и импульсная характеристика

В основе временного метода лежит понятие переходной и им­пульсной характеристик цепи. Переходной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции. Обозначается переходная характеристика цепи g (t ). Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воз­действие единичной импульсной функции (d-функции). Обо­значается импульсная характеристика h (t ). Причем, g (t ) и h (t )определяются при нулевых начальных условиях в цепи. В зави­симости от типа реакции и типа воздействия (ток или напряжение) переходные и импульсные характеристики могут быть безразмер­ными величинами, либо имеют размерность А/В или В/А.

Использование понятий переходной и импульсной характери­стик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия непе­риодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(t ) или импульс­ной функции d(t ), с помощью которых аппроксимируется исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи нахо­дится (с использованием принципа наложения) как сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1(t ) или d(t ).

Между переходной g (t ) и импульсной h (t ) характеристиками линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций вели­чины 1/t, сдвинутых друг относительно друга на время t:

т. е. единичная импульсная функция рав­на производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение сохраня­ется и для импульсных и переходных реак­ций цепи

т. е. импульсная характеристика является производной от переход­ной характеристики цепи.

Уравнение справедливо для случая, когда g (0) = 0 (нуле­вые начальные условия для цепи). Если же g (0) ¹ 0, то предста­вив g (t ) в виде g (t ) = , где = 0, получим уравнение связи для этого случая:

Для нахождения переходных и им­пуль­сных характеристик цепи можно использо­вать как классический, так и операторный методы. Сущность классического метода сос­то­ит в определении временной реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных ветвях цепи) на воздействие единичной 1(t ) или импульсной d(t ) функ­ции. Обычно классическим методом удобно определять переходную характеристику g (t ), а импульсную характеристику h (t ) находить с помощью уравнений связи или операторным мето­дом.

Следует отметить, что величина I (р ) в уравнении численно равна изображению переходной проводимости. Аналогичное изо­бражение импульсной характеристики численно равно операторной проводимости цепи

Например, для RС -цепи имеем:

Применив к Y (p ) теорему разложения, получим:

В табл. 1.1 сведены значения переходной и импульсных харак­теристик по току и напряжению для некоторых цепей первого и второго порядка.

Замечательная особенность линейных систем - справедливость принципа суперпозиции - открывает прямой путь к систематическому решению задач о прохождении разнообразных сигналов через такие системы. Способ динамического представления (см. гл. 1) позволяет представлять сигналы в виде сумм элементарных импульсов. Если удастся тем или иным способом иайти реакцию на выходе, возникающую под воздействием элементарного импульса на входе, то окончательным этапом решения задачи явится суммирование таких реакций.

Намеченный путь анализа основан на временном представлении свойств сигналов и систем. В равной мере применим, а порой и гораздо более удобен анализ в частотной области, когда сигналы задаются рядами или интегралами Фурье. Свойства систем при этом описываются их частотными характеристиками, которые указывают закон преобразования элементарных гармонических сигналов.

Импульсная характеристика.

Пусть некоторая линейная стационарная система описывается оператором Т. Для простоты будем полагать, что входной и выходной сигналы одномерны. По определению, импульсной характеристикой системы называется функция являющаяся откликом системы на входной сигнал Это означает, что функция h(t) удовлетворяет уравнению

Поскольку система стационарна, аналогичное уравнение будет и в случае, если входное воздействие смещено во времени на производную величину :

Следует ясно представить себе, что импульсная характеристика, так же как и порождающая ее дельта-функция, есть результат разумной идеализации. С физической точки зрения импульсная характеристика приближенно отображает реакцию системы на входной импульсный сигнал произвольной формы с единичной площадью при условии, что длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с характерным временным масштабом системы, например периодом ее собственных колебаний.

Интеграл Дюамеля.

Зная импульсную характеристику линейной стационарной системы, можно формально решить любую задачу о прохождении детерминированного сигнала через такую систему. Действительно, в гл. 1 было показано, что входной сигнал всегда допускает представление вида

Отвечающая ему выходная реакция

Теперь примем во внимание, что интеграл есть предельное значение суммы, поэтому линейный оператор Т на основании принципа суперпозиции может быть внесен под знак интеграла. Далее, оператор Т «действует» лишь на величины, зависящие от текущего времени t, но не от переменной интегрирования х. Поэтому из выражения (8.7) следует, что

или окончательно

Эта формула, имеющая фундаментальное значение в теории линейных систем, называется интегралом Дюамеля. Соотношение (8.8) свидетельствует о том, что выходной сигнал линейной стационарной системы представляет собой свертку двух функций - входного сигнала и импульсной характеристики системы. Очевидно, формула (8.8) может быть записана также в виде

Итак, если импульсная характеристика h(t) известна, то дальнейшие этапы решения сводятся к полностью формализованным операциям.

Пример 8.4. Некоторая линейная стационарная система, внутреннее устройство которой несущественно, имеет импульсную характеристику, представляющую собой прямоугольный видеоимпульс длительностью Т. Импульс возникает при t = 0 и обладает амплитудой

Определить выходную реакцию данной системы при подаче на вход ступенчатого сигнала

Применяя формулу интеграла Дюамеля (8.8), следует обратить внимание на то, что выходной сигнал будет выглядеть по-разному в зависимости от того, превышает или нет текущее значение длительность импульсной характеристики. При имеем

Если же то при функция обращается в нуль, поэтому

Найденная выходная реакция отображается кусочно-лннейным графиком.

Обобщение на многомерный случай.

До сих пор предполагалось, что как входной, так и выходной сигналы одномерны. В более общем случае системы с входами и выходами следует ввести парциальные импульсные характеристики каждая из которых отображает сигнал на выходе при подаче на вход дельта-функции.

Совокупность функций образует матрицу импульсных характеристик

Формула интеграла Дюамеля в многомерном случае приобретает вид

где - -мерный вектор; - -мерный вектор.

Условие физической реализуемости.

Каков бы ни был конкретный вид импульсной характеристики физически осуществимой системы, всегда должен выполняться важнейший принцип: выходной сигнал, отвечающий импульсному входному воздействию, не может возникнуть до момента появления импульса на входе.

Отсюда вытекает очень простое ограничение на вид допустимых импульсных характеристик:

Такому условию удовлетворяет, например, имупльсная характеристика системы, рассмотренной в примере 8.4.

Легко видеть, что для физически реализуемой системы верхний предел в формуле интеграла Дюамеля может быть заменен на текущее значение времени:

Формула (8.13) имеет ясный физический смысл: линейная стационарная система, выполняя обработку поступающего на вход сигнала, проводит операцию взвешенного суммирования всех его мгновенных значений, существовавших «в прошлом» при - Роль весовой функции выполняет при этом импульсная характеристика системы. Принципиально важно, что физически реализуемая система ни при каких обстоятельствах не способна оперировать «будущими» значениями входного сигнала.

Физически реализуемая система должна быть, кроме того, устойчивой. Это означает, что ее импульсная характеристика должна удовлетворять условию абсолютной интегрируемости

Переходная характеристика.

Пусть на входе линейной стационарной системы действует сигнал, изображаемый функцией Хевисайда .

Выходную реакцию

принято называть переходной характеристикой системы. Поскольку система стационарна, переходная характеристика инвариантна относительно временного сдвига:

Высказанные ранее соображения о физической реализуемости системы полностью переносятся на случай, когда система возбуждается не дельта-функцией, а единичным скачком. Поэтому переходная характеристика физически реализуемой системы отлична от нуля лишь при в то время как при t Между импульсной и переходной характеристиками имеется тесная связь. Действительно, так как то на основании (8.5)

Оператор дифференцирования и линейный стационарный оператор Т могут меняться местами, поэтому

Воспользовавшись формулой динамического представления (1.4) и поступая так же, как и при выводе соотношения (8.8), получаем еще одну форму интеграла Дюамеля:

Частотный коэффициент передачи.

При математическом исследовании систем особый интерес представляют такие входные сигналы, которые, будучи преобразованы системой, остаются неизменными по форме. Если имеется равенство

то является собственной функцией системного оператора Т, а число X, в общем случае комплексное, - его собственным значением.

Покажем, что комплексный сигнал при любом значении частоты есть собственная функция линейного стационарного оператора. Для этого воспользуемся интегралом Дюамеля вида (8.9) и вычислим

Отсюда видно, что собственным значением системного оператора является комплексное число

(8.21)

называемое частотным коэффициентом передачи системы.

Формула (8.21) устанавливает принципиально важный факт - частотный коэффициент передачи и импульсная характеристика линейной стационарной системы связаны между собой преобразованием Фурье. Поэтому всегда, зная функцию можно определить импульсную характеристику

Мы подошли к важнейшему положению теории линейных стационарных систем - любую такую систему можно рассматривать либо во временной области с помощью ее импульсной или переходной характеристик, либо в частотной области, задавая частотный коэффициент передачи. Оба подхода равноценны и выбор одного из них диктуется удобствами получения исходных данных о системе и простотой вычислений.

В заключение отметим, что частотные свойства линейной системы, имеющей входов и выходов, можно описать матрицей частотных коэффициентов передачи

Между матрицами существует закон связи, аналогичный тому, который задан формулами (8.21), (8.22).

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики.

Функция имеет простую интерпретацию: если на вход системы поступает гармонический сигнал с известной частотой и комплексной амплитудой то комплексная амплитуда выходного сигнала

В соответствии с формулой (8.26) модуль частотного коэффициента передачи (АЧХ) есть четная, а фазовый угол (ФЧХ) - нечетная функция частоты.

Гораздо сложнее ответить на вопрос о том, каким должен быть частотный коэффициент передачи для того, чтобы выполнялись условия физической реализуемости (8.12) и (8.14). Приведем без доказательства окончательный результат, известный под названием критерия Пэли - Винера: частотный коэффициент передачи физически реализуемой системы должен быть таким, чтобы существовал интеграл

Рассмотрим конкретный пример, иллюстрирующий свойства частотного коэффициента передачи линейной системы.

Пример 8.5. Некоторая линейная стационарная система имеет свойства идеального ФНЧ, т. е. ее частотный коэффициент передачи задается системой равенств:

Да основании выражения (8.20) импульсная характеристика такого фильтра

Симметрия графика этой функции относительно точки t = 0 свидетельствует о нереализуемости идеального фильтра нижних частот. Впрочем, этот вывод непосредственно вытекает из критерия Пэли - Винера. Действительно, интеграл (8.27) расходится для любой АЧХ, которая обращается в нуль на некотором конечном отрезке оси частот.

Несмотря на нереализуемость идеального ФНЧ, эту модель с успехом используют для приближенного описания свойств частотных фильтров, полагая, что функция содержит фазовый множитель, линейно зависящий от частоты:

Как нетрудно проверить, здесь импульсная характеристика

Параметр равный по модулю коэффициенту наклона ФЧХ, определяет задержку во времени максимума функции h(t). Ясно, что данная модель тем точнее отображает свойства реализуемой системы, чем больше значение

Чтобы судить о возможностях электротехнических устройств, принимающих и передающих входные воздействия, прибегают к исследованию их переходных и импульсных характеристик.

Переходная характеристика h (t ) линейной цепи, не содержащей независимых источников, численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения в виде единичной ступенчатой функции 1(t ) или 1(t – t 0) при нулевых начальных условиях (рис. 14). Размерность переходной характеристики равна отношению размерности реакции к размерности воздействия. Она может быть безразмерной, иметь размерность Ом, Сименс (См).

Рис. 14

Импульсная характеристика k (t ) линейной цепи, не содержащей независимых источников, численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса в виде d(t ) или d(t – t 0) функции при нулевых начальных условиях. Ее размерность равна отношению размерности реакции к произведению размерности воздействия на время, поэтому она может иметь размерности с –1 , Омс –1 , Смс –1 .

Импульсную функцию d(t ) можно рассматривать как производную единичной ступенчатой функции d(t ) = d 1(t )/dt . Соответственно, импульсная характеристика всегда является производной по времени от переходной характеристики: k (t ) = h (0 +)d(t ) + dh (t )/dt . Эту связь используют для определения импульсной характеристики. Например, если для некоторой цепи h (t ) = 0,7e –100t , то k (t ) = 0,7d(t ) – 70e –100 t . Переходную характеристику можно определить классическим или операторным методом расчета переходных процессов.

Между временными и частотными характеристиками цепи существует связь. Зная операторную передаточную функцию, можно найти изображение реакции цепи: Y (s ) = W (s )X (s ), т.е. передаточная функция содержит полную информацию о свойствах цепи как системы передачи сигналов от ее входа к выходу при нулевых начальных условиях. При этом характер воздействия и реакции соответствуют тем, для которых определена передаточная функция.

Передаточная функция для линейных цепей не зависит от вида входного воздействия, поэтому она может быть получена из переходной характеристики. Так, при действии на входе единичной ступенчатой функции 1(t ) передаточная функция с учетом того, что 1(t ) = 1/s , равна

W (s ) = L [h (t )] / L = L [h (t )] / (1/s ), где L [f (t )] - обозначение прямого преобразования Лапласа над функцией f (t ). Переходная характеристика может быть определена через передаточную функцию с помощью обратного преобразования Лапласа, т.е. h (t ) = L –1 [W (s )(1/s )], где L –1 [F (s )] - обозначение обратного преобразования Лапласа над функцией F (s ). Таким образом, переходная характеристика h (t ) представляет собой функцию, изображение которой равно W (s ) /s .

При действии на вход цепи единичной импульсной функции d(t ) передаточная функция W (s ) = L [k (t )] / L = L [k (t )] / 1 = L [k (t )]. Таким образом, импульсная характеристика цепи k (t ) является оригиналом передаточной функции. По известной операторной функции цепи с помощью обратного преобразования Лапласа можно определить импульсную характеристику: k (t ) W (s ). Это означает, что импульсная характеристика цепи единственным образом определяет частотные характеристики цепи и наоборот, так как

W (j w) = W (s ) s = j w . Поскольку по известной импульсной характеристике можно найти переходную характеристику цепи (и наоборот), то последняя тоже однозначно определяется частотными характеристиками цепи.

Пример 8. Рассчитать переходную и импульсную характеристики цепи (рис. 15) для входного тока и выходного напряжения при заданных параметрах элементов: R = 50 Ом, L 1 = L 2 = L = 125 мГн,
С = 80 мкФ.

Рис. 15

Решение. Примéним классический метод расчета. Характеристическое уравнение Z вх = R + pL +
+ 1 / (pC ) = 0 при заданных параметрах элементов имеет комплексно-сопряженные корни: p 1,2 =
= – d j w A 2 = – 100 j 200, что определяет колебательный характер переходного процесса. В этом случае законы изменения токов и напряжений и их производных в общем виде записывают так:

y (t ) = (M сosw A 2 t + N sinw A 2 t )e – d t + y вын; dy (t ) / dt =

=[(–M d + N w A 2) сos w A 2 t – (M w A 2 + N d)sinw A 2 t ]e – d t + dy вын / dt , где w A 2 - частота свободных колебаний; y вын - вынужденная составляющая переходного процесса.

Вначале найдем решение для u C (t ) и i C (t ) = C du C (t ) / dt , воспользовавшись вышеприведенными уравнениями, а затем по уравнениям Кирхгофа определим необходимые напряжения, токи и, соответственно, переходные и импульсные характеристики.

Для определения постоянных интегрирования необходимы начальные и вынужденные значения указанных функций. Их начальные значения известны: u C (0 +) = 0 (из определения h (t ) и k (t )), так как i C (t ) = i L (t ) = i (t ), то i C (0 +) = i L (0 +) = 0. Вынужденные значения определим из уравнения, составленного согласно второму закону Кирхгофа для t 0 + : u 1 = R i (t ) + (L 1 + L 2) i (t ) / dt + u C (t ), u 1 = 1(t ) = 1 = сonst,

отсюда u C () = u C вын = 1, i C () = i C вын = i () = 0.

Составим уравнения для определения постоянных интегрирования M , N :

u C (0 +) = M + u C вын (0 +), i C (0 +) = С (–M d + N w A 2) + i C вын (0 +); или: 0 = M + 1; 0 = –M 100 + N 200; отсюда: M = –1, N = –0,5. Полученные значения позволяют записать решения u C (t ) и i C (t ) = i (t ): u C (t ) = [–сos200t – -0,5sin200t )e –100t + 1] B, i C (t ) = i (t ) = e –100 t ] = 0,02
sin200t )e –100 t A. Согласно второму закону Кирхгофа,

u 2 (t ) = u C (t ) + u L 2 (t ), u L 2 (t ) = u L (t ) = Ldi (t ) / dt = (0,5сos200t – 0,25sin200t ) e –100t B. Тогда u 2 (t ) =

=(–0,5сos200t – 0,75sin200t ) e –100t + 1 = [–0,901sin(200t + 33,69) e –100t + 1] B.

Проверим правильность полученного результата по начальному значению: с одной стороны, u 2 (0 +) = –0,901 sin (33,69) + 1 = 0,5, а с другой стороны, u 2 (0 +) = u С (0 +) + u L (0 +) = 0 + 0,5 - значения совпадают.